第01章
第一章 黑板前的博士：现场表现能够证明什么？
一 同一篇论文，可以拥有不同的发生史
先把人工智能从争论中暂时拿走。设想三个人提交了形式相同的数学论证。第一个人在长期探索中独立形成了证明；第二个人从他人那里学习并真正掌握了证明；第三个人只记住了表达顺序，尚不能处理条件变化。这三个设定足以说明，文本相同不意味着发生过程相同。无须先判断哪种情况更常见，逻辑区别已经成立。
现在把第二个人请到黑板前。他准确写出每一步，解释关键引理的作用，也能指出一个假设为什么必要。我们没有理由因为他不是最早发现者，就否认他的理解。若他经过学习已经形成了这种能力，理解便是真的。但同样没有理由，因为现在的理解是真的，就把过去的发现改写为他的发现。成长改变了现在，不能倒写历史。
这一点对于教育格外重要。教育原本就应当使尚未掌握的人获得掌握。若只有首次发现者才有资格说自己理解，学习将被取消；若凡能解释的人都可以宣称自己首先发现，贡献史又会被取消。正当的学习价值与正当的原创贡献，必须各自得到承认，而不是通过混同获得彼此的信用。
可以把这个问题写成一个简单关系。设研究历史为H，能够观察到的论文与答辩表现为F(H)。只要存在不同的H₁与H₂产生相同的观察结果，仅凭这一结果就不能保证唯一还原历史。这里没有声称历史永远不可认识，而是指出需要增加与历史相关的证据。更长的现场考试主要增加当前表现信息，未必增加同等数量的来源信息。
源头归属需要追踪的是，某个问题、关键改动或新论证什么时候出现，经过哪些互动形成，哪些部分继承自已有材料。草稿、公开记录、合作者说明和版本变化可以提供线索，但任何单项材料都不自动完成认证。一份事后整理得十分漂亮的探索叙述，仍然可能只说明一个人会讲述探索；一份真实但凌乱的记录，也可能难以表达重要贡献。评价需要具体而适度地组织证据。
这里有一个容易被忽略的中间情况。学习者并非只在复制。他在理解过程中发现原证明的条件表述过强，给出更准确的范围，或者形成一个此前没有的解释结构。此时，原证明的发现不属于他，但条件修正或新的学术解释可能构成他的贡献。若评价只允许“全是你发明”与“你只是学习”两种选项，这种实际发生就会被遗漏。
同样，独立发现不等于全球首次。一个人在没有接触既有答案时形成了有效证明，后来发现结果已经发表。这不会抹去他的探索能力，却会改变关于公共知识新增量的判断。个人发生史与学科发生史交叉而不相同。对博士培养而言，两条历史都可能重要，只是不能用其中一条冒充另一条。
一旦人工智能加入，这些区别没有消失，只是更需要清楚。系统给出的结果可能是复述，也可能包含未被识别的组合或错误；使用者的贡献可能在提问、修正、连接、验证或重新定义之中。不能从最终署名反推全部活动，也不能从工具参与反推人的活动必然虚假。需要辨认的是具体发生，而不是先决定哪一种载体才配拥有认知价值。
因此，现场推导不是没有用。它可以使纯粹背诵更容易暴露，也可以让真实掌握获得表达机会。问题只在于把这种用途无限扩大。当一个方法被要求同时证明过去的原创、现在的理解和未来的创造时，方法并不会因此更强，反而容易掩盖各项判断仍然缺少的证据。
评价的第一项进步，应当是学会把不同的好分开。一个人真正学会，是一种好；他为公共知识作出新贡献，是另一种好；他能够持续参与研究，又是一种好。博士制度需要决定这些价值如何共同构成资格，但不能通过一个方便的动作把它们合并成未经检验的同一件事。
二 推演、解释与发明：三个不同的任务
考虑一个具体例子。设n为正整数。对实数序列a₁至aₙ与b₁至bₙ，柯西—施瓦茨不等式比较两列数内积的平方，与各自平方和的乘积。我们不需要借助一段传奇的发现故事，便可以分析“推导”这一动作内部存在什么区别。
记A为各aᵢ平方的和，B为各bᵢ平方的和，C为各aᵢbᵢ的和。若B为零，所有bᵢ为零，不等式直接成立。若B大于零，把t取为C/B，则各项(aᵢ−tbᵢ)平方的总和为A−C²/B，因而非负。乘以B，便得到C²不超过AB。这个证明短而完整，也说明等号对应两列向量之间的线性依赖关系。
一个学生可以熟练重现上述运算，却仍有不同程度的掌握。他可能只记得t应该这样取；也可能知道这是在寻找最小残差；还可能把它理解为从一个向量中去掉另一个方向的投影。这些解释不是靠公式长度区分的。它们改变了学生在面对变式时能够辨认什么，也改变了这个证明可以连接到哪些新的问题。
进一步问，实数换成复数会怎样？直接沿用没有共轭的表达，就不能不加修改地保留原有推导。学生是否能够发现对象已经改变，是否愿意停下来检查定义，构成另一种能力证据。此时，评价的不只是流畅，而是对条件差异的敏感。迟疑可能意味着没有掌握，也可能意味着正在避免错误迁移，不能只按速度判断。
然而，即使学生能回答这些问题，我们仍然不能推出这条不等式最初由他发明。例子之所以清楚，正因为论证、解释和发现史可以被明确分开。对更复杂的博士论文，逻辑关系不会因为篇幅增加而自动消失。会做一种推演，说明能够完成当前任务；掌握其结构，说明能够在相关条件下组织认识；最初发明了它，则需要关于发生史的额外事实。
更值得注意的是，发明可能改变的并不是单个推导步骤。一位研究者的贡献，可以是发现若干表面不同的证明都具有同一种残差结构，进而提出一个统一问题。局部证明可能来自文献或工具，但新的组织并不因此没有价值。是否有价值要看它带来了什么，而不是看其中有多少符号由本人第一次写出。
这并不意味着任何重新排列都算创新。把十段证明并列起来，与说明它们何时共享一个结构、何时出现例外，是两种工作。后者必须给出足够清楚的关系、边界和新的可检验问题，才有理由被视为进一步认识。贡献不能靠宏大名称产生，也不能因文本外观精美就成立。
由此还可以区分推演能力与推演组织能力。前者直接完成某个过程，后者使一组过程围绕问题相互作用。组织能力也不是站在高处发号施令，它可能需要深入若干关键节点，发现接口不一致，再回到整体重新安排。一个研究者不能重现所有细节，并不意味着他不可能作出这种贡献；但他必须在关键处实际改变了研究，而不是仅仅拥有一个总负责人头衔。
本章的数学例子不是证明人工智能已经能够承担所有数学工作，而是排除一种错误推断：某个过程能在黑板上被重现，便足以把能力与历史贡献完整归给重现者。一旦这一推断被拆开，我们才能讨论更细致的认证，也才能避免以增加黑板难度来补救一个本来属于证据类型的问题。
三 真正理解，可以在作品之后发生
设想一名青年研究者小林。这个人物及其经历完全是为分析而构造的。她接收到一份由系统生成的候选证明，起初只能读懂结论，不能解释中间构造。她没有把它作为自己的完成成果提交，而是标明来源，把它当作需要学习和检查的对象。接下来的工作不再是凭空创造这一证明，而是理解、验证与发现它的边界。
在数次追问中，她发现自己把两个相近定义当成了同一个定义。她重新查阅原文，修改表示，检查证明究竟需要哪一个条件。之后她能解释每个步骤，并给出一个说明条件不能随意删除的例子。我们可以说，她的理解在与作品的互动中发生了。作品先出现，理解后形成，并不会使理解变假。
这件事本身没有证明她曾创造作品中的关键构造，也没有证明她能够独立启动相同规模的研究。可是，她对定义的辨析和边界的检查，也不能仅因作品来自系统就被归零。一个合理评价需要看这些工作是否具有实际内容，是重复已有说明，还是揭示了此前未被发现的问题。
随后，假设她把这份证明与另一类问题联系起来，提出一条新的猜想。系统给出若干支持例子，但一个独立检查程序找到反例。她没有把反例藏起来，而是改变猜想的范围。这里开始出现新的研究发生：不是她先完全拥有全部认识再调用机器，也不是机器把一个完成思想注入她的脑内，而是不同材料和活动之间的冲突，促使原来的认识结构改变。
若最后形成有效成果，贡献需要沿着这一变化追踪。最初证明由系统给出，新的问题由共同互动引出，范围修正依赖反例与进一步分析。不能简单按字数分成各占一半，也不能把最后写论文的人视为所有环节的源头。贡献的价值常常来自关键改变，而不是从头到尾占有整个过程。
与此同时，教育评价需要继续观察小林。在另一项相关任务中，她能否辨认相似的定义混淆？遇到系统给出的错误解释时，她能否组织有效的复核？当原工具不可用时，她能否利用已有记录和其他支持继续工作？这些表现能够帮助判断某种持续能力是否形成。它们不必全部采取闭卷形式，但不能只复现原来的成功情境。
这里还涉及反事实证据。假如换一个同样能够使用系统的人，他是否会作出相同修正？假如删掉小林的关键互动，研究是否仍按相同方式继续？这种问题可以帮助辨认作用，但不能要求对每段历史完成不可能的严格控制实验。我们需要的是与主张相称的合理证据，而不是无限追溯到无法完成任何认证。
因此，研究记录应当保留重要版本、来源和改变，而不是把每一次点击都变成监控对象。完整数据并不自动等于有效证据，过度记录还可能使研究者把活动组织成便于展示的样子。贡献说明的目的，是减少误归属，保护真实发生，而不是强迫每个人演出一个顺滑、线性、始终正确的创造故事。
这个思想实验最重要的结论，是作品、学习和研究之间没有固定的一条单向顺序。作品可以先于掌握，掌握可以引出修正，修正可以生成新的问题，新的问题又可以改变作品的意义。知识发生不是只有第一次写下答案的瞬间，主体能力发生也不是一次答辩中的瞬间。评价必须容纳这种时间结构。
四 从一场答辩走向四项相互关联的认证
经过以上区分，博士评价至少面对四个不同对象：成果是否成立，参与者作出了什么贡献，目前具有什么能力，以及这种能力能否继续用于新的研究。它们相互支持，却没有任何一项能够天然代替其余三项。设计评价，首先不是增加仪式，而是使所用证据与所问问题相匹配。
成果评价需要面对论证本身。对于数学，证明与假设的关系不能被口才替代；对于实证研究，数据、方法与结论之间的关系也不能仅由研究者的自信担保。一个人答辩表现不好，不会使已经成立的定理立即变假；一个人说得极其流畅，也不会修复有缺口的论证。这些判断必须保持相对独立。
贡献评价则需要关注发生过程。来源说明、关键版本和合作者的实质性记录，可能比当场重演更直接。它应当承认负面贡献的价值，例如排除一条错误路线、揭示一个被共同忽略的假设、说明一个流行问题为何没有被正确提出。但这种价值仍需具体依据，不能仅凭自述“我负责方向”便获得全部信用。
当前能力评价应当提供多种表达机会。某人可以通过清楚的口头解释显露掌握，也可以通过修改一个有缺陷的论证、构造反例、提出合适实验，或者组织一次有效的工具调用显露掌握。允许多种形式，并不是降低要求，而是避免把表达形式中的偶然限制误判为认知能力不存在。
持续发生能力尤其不能由一次高光时刻决定。相邻任务中的迁移，面对失败后的修正，以及对研究边界的逐步认识，都需要跨时间观察。这也不意味着把博士培养变成持续的监考。观察的目的应当是提供反馈和形成证据，而非要求学生在每个时刻都展示成熟。一个只能表演完成、不能公开不懂的环境，反而不利于能力形成。
在工具方面，评价可以针对目标安排暂时移除、限制或充分开放。若要诊断某个概念是否已经能够被个人直接使用，限制工具可能有意义；若要评价一个真实研究系统能否工作，就需要观察系统完整运行。把其中一种安排设为所有能力的唯一尺度，都会失去信息。两类情境回答不同问题，应当互相补充。
更进一步，即使观察了系统完整运行，也要辨认个人实际参与。一个人坐在自动生成系统旁边，不等于他参与了全部过程。可以通过对方案的实质性修改、对冲突的处理、对新条件的回应，判断其活动是否持续影响研究。这里没有要求人的每次介入都优于系统，而是要求所认证的能力确实与他的参与有关。
这些改变需要资源，也会带来新的公平问题。多位评价者不自动消除偏见，长期观察不自动比标准化考试公正。新的评价因此需要清楚规则、可讨论的证据、必要的复核途径，以及对评价者本身的约束。不能借“不唯论文”之名，把可公开检验的标准换成少数人难以说明的直觉。
博士认证需要同时看见研究的三个时间：过去怎样发生，现在怎样掌握，未来怎样继续。现场推导可以为其中某些判断提供证据，却不能把当前掌握倒写成原创历史，也不能独自预告未来创造。将这些问题分开，不是降低认证标准，而是让严格有明确对象。接下来真正需要说明的，便是“理解”内部还有哪些层级：当一位研究者不再亲自执行全部过程时，我们究竟应当寻找哪一种掌握的证据？