第二十章　马赫与经典物理的界限：惯性真是物体自带的吗

一、把一切算清以后，仍有一个问题

分析力学能够把受约束的运动组织成广义坐标，也能把位置与动量变成相空间中的一条轨迹。可是，公式使用得越熟练，某些前提越可能退到视野之外。我们说一个物体保持匀速直线运动，是相对什么保持？我们说它受到相同作用却较难加速，这种响应关系又怎样从比较中取得确定含义？计算完成并不意味着这些问题已经被取消。

想象一辆平稳前进的车，车厢里有人把小球轻轻放在足够光滑的水平面上。若车辆突然加速，小球相对车厢向后移动。在地面近似惯性系里，可以解释为车厢向前加速，而小球的原运动状态暂时没有相同改变；在随车描述里，则需要引入相应的惯性力。两种说法可以相容，但它们已经说明，“是否加速”不能离开参考描述直接宣布。

这并不意味着一切受力现象都只是观察者的幻觉。乘客会感到座椅的推压，加速度计会给出响应，物体间的接触也会改变。问题是：哪些量取决于坐标表达，哪些可观察关系在变换中保持，哪些作用需要由更完整的物理模型说明？如果把这些层次混在一起，就容易在“全是物体固有属性”与“全是观察者任意选择”之间摇摆。

马赫对经典力学根基的追问，可以放在这个裂口处理解。本章不会把他写成已经解开惯性之谜的人，而是追踪一个更准确的问题：惯性能够在多大程度上被当作独立物体的自带性质，又在多大程度上依赖与其他物体、参考框架和整体物理结构的联系？一个有创造力的问题，未必已经拥有经验证实的唯一答案。

二、参考系换了，哪些东西没有换

先做一个纯运动学检验。在一维中，设新坐标原点相对旧坐标的位置为X(t)，则同一物体的坐标满足x′＝x−X(t)。对时间求两次导数，得到：

a′ = a − Ẍ。

如果新原点匀速运动，Ẍ为零，两边加速度相同；如果新原点加速，加速度描述就相差原点的加速度。这是明确的变换关系，不是对力学本体的最终解释。它告诉我们，不同坐标里的不同数值可以对应同一个过程，但也不能把两者未经转换就拿来比较。

在旧参考系中，若合力为F并有F＝ma，那么新参考系中可以写成ma′＝F−mẌ。后一项通常作为平动惯性力处理。它与真实接触力不必具有相同来源：车厢里的小球可能没有受到向后的接触推力，但在加速车厢坐标里仍表现出向后的加速度。区分来源不妨碍计算，只是要求说明方程中每一项的资格。

给出一个自拟数值例。车厢向前加速度为每二次方秒二米，质量为一千克的小球在地面系中暂时不受水平合力。随车系中的加速度便为向后每二次方秒二米，相应惯性力项为向后两牛顿。若小球被座椅或挡板限制而随车一起加速，地面系中就必须有向前两牛顿的实际合力；随车系里，这个力与惯性力项相抵，小球保持相对静止。

两个情形的相对位置都可以被安排成某种简单样子，接触与传感器响应却不同。不能只因为一个观察者看见小球静止，就推断它没有受到实际作用；也不能只因另一个观察者看见小球运动，就认定它必有一股沿运动方向的推力。经典理论本身已经包含比直观的“动不动”更精细的关系区分。

三、一面弯曲水面能证明什么

旋转提供了更尖锐的例子。让一只圆筒中的水逐渐随容器稳定旋转，水面会形成中心低、边缘高的形状。如果水已经与筒壁共同转动，二者彼此可以近似静止，而水面仍然弯曲。由此能够排除一个过于简单的说法：所有相关效应只由水与紧邻筒壁的相对速度决定。

但从这个排除到“已经唯一证明绝对空间存在”，还有一个逻辑距离。实验给出水面、容器、地球以及更广参考关系之间的具体响应，哲学解释则要说明为何这些响应只能由某一种存在论承担。排除一个狭窄的相对运动模型，不等于排除所有可能的关系性理论。反过来，指出解释不唯一，也不等于已经建立了一个可以同样准确计算的新理论。

马赫在《力学》中批评把实验结论无条件推广到脱离其他物体的情境。他借旋转容器追问：若容器壁变得极厚、极重，是否仍能把通常实验所得关系原样外推？同时，他没有声称已经用实验知道任意改变整个宇宙后的结果。[20-1] 这一原典上的谨慎，比后来把他概括成一句“恒星制造惯性”更值得保留。

以下讨论是本书沿这个问题所做的分析。容器变重以后，可能改变的因素很多：支撑受力、局部引力、机械振动以及测量基准。若出现新的水面变化，不能立刻把它归因于一种宇宙性的惯性生成机制。新的解释必须说明如何区分这些竞争因素。一个反事实问题可以打开研究，但它需要经过模型和实验设计，才取得可判断的物理内容。

这正是哲学批判与物理重建之间的门槛。批判能够指出原结论超出了证据，重建则需要进一步给出在什么改变下出现什么新结果。只完成前一步，不能冒称已经完成后一步；只因后一步尚未完成，也不应否认前一步揭示了真实的推论缺口。

四、把旋转水面算出来

为了避免讨论只停在立场上，我们建立一个现代经典流体算例。假设水已经达到绕竖直轴的稳定刚体旋转，角速度为ω，流体密度近似均匀，重力加速度g近似恒定；忽略表面张力造成的边缘修正以及显著波动。令r表示到转轴的距离，z表示高度。在惯性描述中，径向压力梯度提供向心加速度，竖直压力梯度平衡重力。

沿自由表面，压力近似相同，因此径向与竖直的压力变化须相互配合，得到g dz/dr＝ω²r。积分后，水面相对于轴心的高度差为：

z(r) − z(0) = ω²r²/(2g)。

这个结果是明确的抛物面关系。它并未回答惯性最终从何而来，却允许我们检查经典模型在给定装置中的预测。把解释层次分开，讨论便不会因为终极问题尚未解决而失去已有计算能力。

设圆筒半径为零点一米，角速度为每秒两弧度，g取每二次方秒九点八米，则筒边相对轴心的水面高度差约为零点零零二零四米，即二点零四毫米。若角速度增为每秒四弧度，高度差增为约八点一六毫米，是原来的四倍。这些数值均由本章假设直接计算，不是马赫做过的历史实验数据。

在随水旋转的参考描述里，可以把径向惯性项与重力共同组成有效作用，再得到同一个表面条件。两种计算的相容表明坐标变换受到规则约束，却不构成两份独立实验支持。它们共享相同的经典物理结构。只有真正改变角速度、半径或其他条件并取得新记录，才会增加对该模型的经验检验。

这也给出可败条件。若在排除显著非稳态、毛细效应和装置倾斜后，高度差不随角速度平方变化，就应调查模型的适用性，而不是只重复“离心力存在”。若某种关系性新理论要替代或扩展经典解释，至少应在通常条件下恢复这个成功结果，并在特殊条件下给出可区分的额外预测。

五、把惯性写成关系，尚不等于解释来源

考虑两个相互作用的小车。在外界作用可忽略的条件下，它们的动量变化大小相等、方向相反。若质量在过程中恒定，可以由加速度比比较惯性质量之比。例如，甲的加速度大小为乙的两倍，就得到乙的质量为甲的两倍。这里的质量比较由相互作用中的响应关系建立，并不需要先假定每个质量都被某种直接感觉独立读出。

但这种操作性关系尚未说明惯性为什么具有这个来源。用加速度比定义或测定质量比，与提出全部惯性由遥远物质产生，是两类不同命题。前者给出比较程序，后者给出因果或构成解释。若把“测量离不开其他物体”直接推成“惯性完全由其他物体制造”，中间就省略了必须论证的桥梁。

也可以从另一方向犯错。一个局部物体在许多实验中表现出稳定质量，并不单独证明质量在任何可能世界中都独立于其他存在。经验稳定可以支持有效封装，但它不自动回答把全部周围物质移走后的反事实。前提未被实际改变，便不能把没有观察到改变当作完全独立性的证明。

因此，本书把问题拆成三个可区分层次：怎样规定惯性运动，怎样比较惯性响应，怎样解释这种响应的成立。第一层涉及参考结构，第二层涉及具体量度，第三层涉及理论的生成机制。它们互相联系，却没有一条可以靠改写术语直接吞并另外两条。马赫问题的价值，恰在于迫使经典封装重新面对第三层；它的困难，则在于第三层需要比批判更具体的证据。

如果有人主张惯性质量与某个宇宙整体量成正比，就应说明那个整体量是什么、如何定义边界、怎样处理不同运动状态、如何预测局部质量变化。只写“所有质量的作用总和”，仍然没有给出可计算的量。全体一词可以表达研究方向，却不能代替一个收敛、可辨识而且可检验的模型。

六、爱因斯坦怎样接过问题，又留下限制

爱因斯坦在一九一八年的文章中使用“马赫原理”这一名称，把它解释为对惯性应追溯到物体相互作用这一要求的推广。[20-2] 这是一位后继研究者对问题的重新表述，不应把它与马赫原书的全部论证视为同一段话，更不能因为名称相同就假定所有后来的版本都提出完全相同的命题。

《相对论的意义》一九二二年版相关段落又显示，爱因斯坦在当时把惯性部分依赖质量之间作用看作对马赫思想的支持，同时将更强的整体要求与特定宇宙构想联系起来。[20-3] 读这类材料，必须保留它的历史条件：它展示思想如何进入研究，而不是向今天提供一条不受版本和模型限制的最终定理。

本书在这里区分三个容易被混同的陈述。第一，马赫的批判启发了爱因斯坦。第二，某种引力理论能够预测旋转质量对局部参考结构的影响。第三，宇宙全部物质唯一决定一切惯性性质。第一项是思想史命题，第二项是需要给出模型和量值的物理命题，第三项是更强的总体要求。即使前两项成立，也不能不经进一步论证就断言第三项已经证实。

这与上一章形式等价的纪律相同。把一个方程写成更一般的坐标形式，不等于已经解释所有参考结构的物理来源；赋予背景以动力学内容，也不意味着所有边界和初始数据都从此不再需要。方程、解的条件和可观测预测必须分别说明。若把一般协变性直接翻译为“一切都由物质关系唯一决定”，就把数学表达性质与物理决定关系混在了一起。

我们可以用一个更简单的数学类比检查这种推理。在一个没有质量源的有限区域内，牛顿势可以满足拉普拉斯方程；但不同边界条件允许不同的调和势。区域内部没有源，不等于区域中的场必为零，也不等于仅凭局部源信息就唯一确定场。这不是广义相对论的证明，只是提醒我们，微分方程里出现源项，并不足以宣布源项独自给出全部解。

七、可测的拖曳不等于整个马赫命题获证

把讨论推进到可测命题，必须给出具体预测。引力探测器B的研究团队在二〇一一年报告了地球轨道陀螺仪的测量结果，其中参考系拖曳漂移率为每年负三十七点二角毫秒，不确定度为每年七点二角毫秒；对应广义相对论预测为每年负三十九点二角毫秒。[20-4] 这里引用一项有明确实验对象、量值和不确定性的原始研究，不把它泛化为终极来源问题的完成。

从这组数值可以作一个简单核对：测得中心值与理论值相差每年两角毫秒，约为所报告不确定度的零点二八倍。这个比较说明二者在该误差尺度下相容；它不独自证明理论的每一种可能扩展，也不能替代论文对系统误差和数据处理的完整论证。数值相容是一项有限而有力的结果，力量恰恰来自它的有限规定。

为什么这不等于“恒星创造了全部惯性”已经实验获证？因为实验检验的是某个具体引力理论在地球周围对陀螺仪漂移的预测，并没有把宇宙中的其他物质全部移走再观察惯性是否消失。若不同总体解释在该实验条件下给出同样结果，这项实验就不能区分它们。支持一个具体效应，不等于支持所有借它讲述的哲学故事。

项目研究者的官方说明也明确提醒，不应把这类实验直接当作笼统马赫原理的检验，而应看作对具体引力理论及其明确特征的检验。[20-5] 这一点并不使马赫追问失去价值。它把追问从口号转入研究的必要条件说清楚了：必须把“关系决定惯性”变成一组能够失败的量化承诺。

一个新的模型若预测额外漂移，应给出方向、大小和随装置变化的尺度关系，并与已知机械、电磁及引力效应区分。若每次没有看到预期结果，都把作用推到尚不可达的宇宙尺度，却不再提供可区分后果，它就退回研究愿景。愿景可以保留，但不能与已通过检验的命题使用同一种证据语气。

八、整体质量分布不是可以随便补列的环境

在SDE语言里，马赫问题很容易被误说成“要考虑环境”。这种说法太弱，也太宽。把地球、恒星、星系写在模型外面，并不会自动解释惯性；把E当作容纳一切遗漏因素的袋子，只会让理论失去边界。需要追问的是，参考结构、响应量度和质量分布之间怎样相互规定，哪些关系能够进入具体实验。

例如，在普通旋转水面实验中，地面参考、重力方向与装置轴线之间的关系参与水面形状的测量；筒壁通过接触把角动量传给水，也参与稳定状态的形成。这些都可以逐项改变并检验。至于远处质量是否对某项局部惯性参数具有额外作用，则需要新的动力学关系，不能因远处物质同样属于环境而自动归入已经验证的解释。

本书的本体论立场要求把物体的稳定属性放回复合发生系统，但不因此预先替任何特定马赫式物理模型宣布胜利。属性不是脱离互动便能完整定义的孤立成品，与某个具体宇宙积分式就是正确引力定律，是两个不同层次的主张。前者提供研究取向，后者必须接受数学和实验的独立检验。

这一区分尤其重要，因为整体性语言很容易获得一种不应有的免检地位。一个模型声称考虑了全部宇宙，不会因此比局部模型自动更深刻。若它不能说明如何恢复已验证的局部极限，或不能定义所谓全部的计算方式，它反而可能比局部模型更模糊。整体性需要建立层级之间的可追踪关系，而不是把所有层级都写进同一个句子。

九、让批判经过两条完整路径

本章可以先走S—E—D的进入路径。从旋转水面、车厢响应等稳定显露S进入，审查其中默认的参考结构与惯性关系E；再设计能够区分解释的差异序列D，例如改变角速度、交换观测框架、控制容器质量和排除附加机械影响。若新的操作只重复旧条件，便没有获得判断强反事实命题所需的新证据。

另一条是D—S—E的原型路径。先建立一个可控模型或实验D，观察其与已知经典预测的差别S，再判断这种差别是否足以支持新的关系结构E。它要求研究者先把可测后果做出来，避免从一个令人兴奋的整体解释直接跳到结论。原型可以失败；失败之后保存哪些条件已经受检，比把愿景改写得永不失败更有知识价值。

三方程在这个过程里承担不同约束。S＝F(D,E)要求现象有实际发生条件；D＝G(S,E)要求已有结果决定下一步怎样区分；E＝H(S,D)则要求新关系回应已取得的记录。三原理的两维张力推动第三维改造：S与D的失配可推动重审参考假设E；S与E的失配可推动新实验D；D与E无法支持旧描述时，可推动重新规定需要测量的S。改变以后都要回到原先现象，不得只在抽象层面宣布已经超越。

可败性在这里不是附加的审稿手续。若一个惯性来源模型预测局部响应随某项可控质量配置变化，那么在约定灵敏度内没有出现相应变化，就对这个版本构成限制。若模型只解释既有结果而不给额外可观察区别，它仍可作为解释候选，但不能冒称比竞争解释获得更多实验证实。证据的差别必须写进结论，而不是藏在脚注里。

十、惯性问题怎样打开新的发生空间

马赫没有通过一句批评废除经典力学。经典方程在明确条件下仍然成功，旋转水面依然可以计算，车厢中的相对加速度也依然受变换规则约束。他所打开的是另一种问题空间：最稳定的基本属性，是否也包含尚未被充分展开的构成关系？当研究者把某种稳定封装视为不需解释的最后实体时，怎样重新追问它的成立条件？

但这种追问同样要防止自己的过度。不能因为惯性需要关系性量度，就断言全部来源问题已经解决；不能因为爱因斯坦受过启发，就把启发升级成物理定理；不能因为发现参考系拖曳，就宣布所有马赫原理版本全部获证。思想史、方法论、数学模型和实验结果，各自有自己的证据责任。

对于本书的主轴，最有价值的收获是保持两种能力同时存在。一种能力使成功的物理封装稳定运行，让人们能够继续建造、测量和预测；另一种能力把封装重新打开，追问其中哪些性质由更大系统的特征纠缠维持。前者没有后者，容易把条件性稳定误作无条件自足；后者没有前者，则容易只剩没有计算和检验能力的宏大语言。

到这里，经典物理已经显出它的创造力与边界：它重建了物体、运动、公共量度和数学形式，也留下了整体关系与局部属性之间尚待展开的张力。下一编转向热与统计，不是简单添加一种新力，而是观察另一种物理世界怎样发生：当无数微观差异持续变化，宏观稳定、转换方向和分布类型又怎样取得自己的存在规定。

本章参考资料

[20-1] Ernst Mach，The Science of Mechanics，T. J. McCormack英译，1893，第二章第六节，重点原印页229—238。https://pages.jh.edu/rrynasi1/spacetime/eprints/Mach1893NewtonsViewsOfTimeSpace%2BMotion.pdf 。 [20-2] Albert Einstein，Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie，Annalen der Physik 55（1918），241—244。doi:10.1002/andp.19183600402。https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/andp.19183600402 。本章仅据命名说明讨论“马赫原理”与原作者思想的区别。 [20-3] Albert Einstein，The Meaning of Relativity，1922，原印页119。https://en.wikisource.org/wiki/Page:The_Meaning_of_Relativity_-_Albert_Einstein_(1922).djvu/131 。 [20-4] C. W. F. Everitt等，Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity，Physical Review Letters 106（2011），221101。doi:10.1103/PhysRevLett.106.221101。https://arxiv.org/abs/1105.3456 。 [20-5] James Overduin，Spacetime Before Einstein，Gravity Probe B项目说明，2007，Mach’s Principle节。https://einstein.stanford.edu/SPACETIME/spacetime1.html 。