第三十章 从作用到场：能量与动量怎样取得局域的历史
一、能量离开以后，到达以前
赫兹的实验使传播成为可操作的问题，接下来的问题却并不只属于波速测量。设一个发射器已经停止供能，而远处的吸收器还没有收到脉冲。在这段时间内，能量在哪里？如果只在两个物体的账本上登记，发射器的账上已经减少，吸收器的账上尚未增加，两个账本相加便出现暂时的缺项。坚持总能量守恒，可以说还有一个没有登记的储库；但要进一步说明储库怎样变化、能量通过哪个边界、什么时候抵达，就需要比一个总数更细的物理结构。
场论的推进正在这里。场不再只是计算远处物体受力的方便表格，而取得了自身的状态、储存和传输能力。这里的“自身”并不意味着场能脱离源、边界和测量而独立自足。它意味着在给定初始条件之后，即使源的当前状态已经改变，空间中的场仍可保留先前作用的结果，并继续对后来遇到的物体发生作用。一个脉冲因而拥有沿空间展开的历史。
坡印廷在一八八四年发表的论文，把研究重心明确移到能量从电源经周围空间传往耗散部位的路径，并从麦克斯韦理论提出局域能流的表达。[30-1]这个问题不应被压缩成又发现了一个向量。向量的意义在于，它把“总量没有少”改造成可以对任意局部区域逐项核查的收支。以下采用现代真空形式与国际单位制推导，不把现代符号、后来的动量表述或本章算例倒写成原论文原貌。
二、把总账拆成每一个小体积的账
设电场写作E电，磁感应强度写作B，电流密度写作J。E电与本书方法论中的E不是同一符号对象。在真空形式的麦克斯韦方程中，将安培—麦克斯韦方程除以μ₀后与E电作点乘，再减去法拉第方程与B／μ₀的点乘。电场变化项给出ε₀E电·∂E电／∂t，磁场变化项给出B·∂B／∂t除以μ₀；它们恰好分别是两个平方项对时间的导数。
定义场能量密度和能流密度为
u＝ε₀E电²／2＋B²／（2μ₀）， J能＝E电×B／μ₀。
利用散度恒等式∇·（E电×B）＝B·（∇×E电）－E电·（∇×B），得到
∂u／∂t＋∇·J能＝－J·E电。
这个等式的每一项都有清楚的去向。第一项是单位体积内场能储存的增减，第二项是净流出，右边是场向带电物质交付功率的负值。这里J包括所讨论微观描述中的电荷运动；若改用介质的宏观平均量，物质内部的储能与耗散必须重新分配，不能不加条件地把ε₀换成任意频率相关介电常数。[30-2]
对于一个固定体积，积分形式更加直观：场能增加率，加上穿出闭合边界的总能流，等于负的内部物质受功率。边界法线向外，因此流入给负的表面积分。正负号不是排版细节：把流入误读为流出，就会把正在充电的电容器误写成能量源。
这个推导使用场方程，而不只是能量守恒的愿望。单凭一句能量不能凭空产生，并不能告诉我们储能为何是场强平方，更不能给出能流方向为何涉及叉乘。与此同时，推导本身也不证明所有真实材料都能由这个最简模型覆盖。它提供的是一套可以被局域实验、边界功率和热量测量共同约束的关系。只要对同一个区域使用同一套划分，源端减少、区域储存、接收端增加就必须接得起来。
磁力在这里有一个容易混淆的位置。点电荷的磁力为qv×B，与速度垂直，所以这一项不直接改变粒子的动能；功率来自qv·E电。这不等于磁场对机械过程毫无贡献。磁场可以改变运动方向、传递动量，并参与导体、约束和电场共同组成的能量转换。把单粒子磁力不做功，推成整台含磁场机器不能输出机械功，是把不同层次的系统混成了一个。
三、电阻发热，能量从哪里进入
考虑一个长直圆柱电阻，半径为a，有效长度为ℓ，端电压为V，电流为I。为突出局部关系，忽略端部的场畸变，取内部轴向电场近似均匀，E电＝V／ℓ；圆柱外表面的磁场绕轴环行，大小B＝μ₀I／（2πa）。两者叉乘指向圆柱内部。因此能流并非沿着电子漂移方向画一根箭头就能说明，而是在侧面有明确的径向流入。
侧面总输入功率为
P入＝2πaℓ×E电B／μ₀＝VI。
这个结果正好等于电路计算的焦耳功率。这里没有发现另一份热，也没有推翻电流与电阻的关系；同一个功率获得了空间分辨的说明。若取V＝12伏、I＝0.2安、ℓ＝0.1米、a＝0.001米，则表面电场约为120伏每米，磁场约为4×10⁻⁵特斯拉，向内能流密度约为3820瓦每平方米。乘以约0.000628平方米的侧面积，得到2.4瓦。
这是本章设置的理想算例，不能推广成所有真实电阻都严格只从侧面进能。接线、端部、附近导体和非均匀材料会改变局部场形。建立轴向电场的表面电荷分布也不可省去；它由整个电路及其边界共同决定。若只保留一条孤立的载流线，再任意补画电场，就可能给出错误的能流路径。
这一算例的思想力量在于，同一个VI不再只能解释为“电流把能量带进电阻”。电流规定磁场的一部分，电压和表面电荷规定电场的一部分，二者的空间关系共同规定能量怎样穿过边界。导体参与组织传输，但传输所占据的空间不能预先缩减为导体内部。近似电路模型把这些细节消去，仍能精确计算许多端口行为；场论则说明了这种消去在哪些条件下成立。
四、同轴线把几何变成可检验的功率
再看一条理想同轴传输线。内导体半径为a，外导体内半径为b，中间为真空，忽略电阻和端部，并考虑沿线传播的横电磁模式。两导体之间的径向电场与环向磁场分别为
Eᵣ＝V／［r ln（b／a）］， Bφ＝μ₀I／（2πr）。
两场的叉乘沿线轴向，因此J能的轴向分量为VI／［2πr² ln（b／a）］。把它对环形横截面积分，面积元为2πr dr，便得到
P＝∫J能·dA＝VI。
这里的积分展示了一个容易丢掉的因素：靠近内导体处的能流密度较大，但每一小层的面积也不同。不能把某个半径处的数值简单乘以整个截面积。几何既改变局部密度，也规定应怎样汇总成端口功率。
从同一电场分布可求单位长度电容C′＝2πε₀／ln（b／a）；从磁场能可求单位长度电感L′＝μ₀ln（b／a）／（2π）。二者相乘为μ₀ε₀。对于单向传播的波，电压电流之比为特性阻抗Z₀＝√（L′／C′），即约为60 ln（b／a）欧姆。取b／a＝e，便得到约60欧姆；12伏的前行波对应0.2安，传送2.4瓦。
这不是说给任何负载加12伏就一定出现0.2安。它是单向行波的电压电流关系。若末端不是匹配负载，反射波会叠加，局部总电压与总电流的比值不再处处等于特性阻抗。理想开路端总电流为零，但入射波和反射波各自并不消失；在端点处把总电流为零误读成整条线从未传过能量，会抹去建立状态的过程。
设这条线长30米，真空模式的单程传播时间约为100纳秒。在线路开始受激的最初几十纳秒，远端尚不能以当前负载响应反馈源端。等到反射返回，源端条件才受到那一部分信息影响。这是静态端口图所省略的时间层次。集中电路近似之所以常常有用，是操作时间远大于这些传播时间，且分布效应可控；它不能因此被提升为瞬时作用的普遍证明。
更重要的是，功率测量和传播时延现在能够相互检验。若由端口算出的输入输出差，不能与线内储能变化相接，就需追查导体损耗、辐射、探针负载或波形标定。局域理论增加的不仅是一个图景，也增加了多种测量之间不能随意独立调整的约束。
还可以让同轴线的账本完整地运行一次。仍取匹配线中的功率为2.4瓦，输入一个持续200纳秒的近似矩形脉冲，忽略上升沿所占时间。总输入能量为0.48微焦。脉冲前端抵达负载以前，输入能量都存在线路的电磁场中；在100纳秒时，线内能量达到0.24微焦。此后到200纳秒，源继续输入而负载已经吸收，若两端功率相等，线内储能保持这一数值。源停止以后，后沿仍需100纳秒到达末端，所以负载还能继续收到能量，直到300纳秒才结束。
这个分段过程没有把能量当作不可见小球追踪，而是逐段使用边界收支。第一段输入有、输出无；第二段输入输出相等；第三段输入无、输出有。若只在源停止那一刻拍摄仪器读数，可能看到源功率为零而负载仍在发热。它不是永动现象，也不是电源停止的消息尚未被人知道，而是有具体量值的场储能正在减少。把输入输出功率分别对时间积分，最终得到相同的0.48微焦。
在第二段，电场能与磁场能各占线内储能的一半；这是理想单向横电磁波的关系，并不适用于任意反射叠加的瞬时状态。若人为把线内全部储能都归为电容储能，就会少记一半；若又在输入能量之外重复加上场能，则会多记一份。选择账本的边界与时刻，是验证守恒的组成部分。这个例子还给仪器提出具体要求：记录的时间窗若只延续到源脉冲结束，输出积分会被截短，看起来像出现损耗；记录必须覆盖传播尾部，才能区分暂存与耗散。
五、缺失的反作用可能在场中
能量之外还必须处理动量。两个带电物体相隔较远，其中一个突然改变运动，另一个尚未收到变化；若要求同一时刻两个物体之间的机械力必定大小相等、方向相反，就会遇到困难。场论的回答不是取消动量守恒，而是把系统边界从两个物体扩展到物体与场。
在真空电磁描述中，场动量密度为g＝ε₀E电×B＝J能／c²。能量流和动量密度因此不是彼此无关的附加定义。为了知道动量如何穿过边界，还需要应力张量。其分量写作
Tᵢⱼ＝ε₀（EᵢEⱼ－δᵢⱼE电²／2）＋（BᵢBⱼ－δᵢⱼB²／2）／μ₀。
这里Eᵢ是E电的笛卡尔分量，δᵢⱼ在两个指标相同时为一，否则为零。张量的必要性并不来自数学炫技：动量本身有方向，它又能通过不同朝向的面流动，单一向量不足以同时记下这两种方向。按照这一应力符号约定，力密度满足
fᵢ＝Σⱼ∂Tᵢⱼ／∂xⱼ－∂gᵢ／∂t。
对体积积分，物质所受总力等于边界应力的合力，减去内部场动量的增加率。若把动量通量张量定义为Π，则这里Π＝－T，不能在公式中任意交换符号。这些关系可以直接从洛伦兹力密度ρE电＋J×B与场方程推得；它们也要求物质和场在同一边界定义下共同记账。[30-3]
因而，机械物体的动量没有闭合，并不立刻表示守恒失效；但也不能用“动量在场里”当作不可核查的借口。场强、边界应力和变化率必须给出缺项的具体量值。若所需缺项与独立场测量不符，就要修改模型或承认遗漏了支撑物、接地回路、辐射等系统成分。扩展系统是有代价的解释，不是无限增加不可见因素的许可证。
应力的符号还可以用平面波自行检查。若波沿z方向走，电场和磁场都横向，便有Tzz＝－u。体积左端面的外法线指向负z，于是应力对该面给出的作用沿正z；这与入射波把物质向前推的方向一致。只记住压力等于能量密度而不检查法线，容易在吸收端算出相反的力。这个简单检查也说明，局域量的物理意义必须连同积分方向使用，不能从孤立的一个负号判断能量或动量“不真实”。
六、一束光怎样推动物体
对于真空中近似平面的单向波，E电＝cB，两种场能密度相等，J能＝cu沿传播方向。把g＝J能／c²在一个有限脉冲中积分，得到脉冲动量大小p＝U／c。这里要求波束近似沿同一方向，且选取的区域包含所讨论脉冲；强聚焦或多方向叠加时，应把向量动量密度直接积分，不能把所有能量机械地除以c就当作某一方向的净动量。
设一束能量10毫焦的脉冲被静止靶吸收，忽略反射和其他出射辐射，在靶反冲速度很小的近似下，它交付的动量约为3.33×10⁻¹¹千克米每秒。理想镜面把脉冲沿原路反射，入射与出射动量方向相反，交付量约加倍。对100瓦连续入射功率，相应平均力约为3.33×10⁻⁷牛顿和6.67×10⁻⁷牛顿。
这些数值是设计量级，不是某次历史实验的数据。它们说明为何验证不能只看“照光后物体动了”。吸收引起的温升、残余气体的运动、悬挂系统漂移，都可能造成力学响应。一个强的竞争解释是热效应驱动，而非光场直接的动量交付。区分二者需要改变反射率、压力、调制频率与照射几何，并分别测量吸收功率和机械响应。改变反射率时，吸热与动量转移未必同比变化，这正是可利用的差异。
理想反射的二倍关系也有条件。镜子若显著运动，反射光会改变频率，能量与动量的交换需一起计算；若只是漫反射，出射方向分布就决定反冲大小；若有透射，则透射部分也必须入账。用最简关系提出清楚的失败条件，比把一切偏离都归咎于实验不够理想更有科学价值。
七、局域账本究竟证明了多少
局域能流可以存在于时间不变的场中。电阻稳定发热时，场能密度不随时间变，能量却持续流入物质；稳态意味着储存不再积累，并不意味着传输停止。其他静态配置也可能出现非零的局域叉乘，而闭合边界上的净通量为零。此时必须检查整个空间的流线、源和机械支撑，不能从某处非零箭头推断出无源的持续输出。
还有一个更深的限定。连续性方程规定的是能流的散度。若给能流加上某个足够光滑向量场的旋度，其散度为零，闭合边界的净通量也不改变。因此，只凭连续性方程，不能声称已经唯一确定所有局部流线。通常采用的坡印廷表达还连同场动力学、局域做功关系和空间变换性质使用；这些额外结构大幅限制允许的解释，却不能被一句“守恒必然如此”省略。
这些限制并未取消局域描述的价值。它要求同一组场既解释热量，又解释力和延迟；每增加一种独立测量，任意补账的余地就更小。解释的可信程度来自这种交叉约束，而不是来自能流图是否符合直觉。
这一区别给直接作用论留下的最强位置，也不是否认已测得的传播延迟，而是尝试用不同变量重新表达相同可观测关系。若某种包含延迟和完整边界条件的表示，在所有可观测量上与场论等价，仅凭某一幅能流图未必能将它排除。另一方面，只计算物体之间瞬时作用、不提供线中储能和反射延迟的简化模型，会在前述快速开关实验中遭遇明确限制。需要比较的是模型实际承诺的结果，而不是“作用”与“场”两个词的气势。
介质还提示另一条边界。材料的极化、磁化、运动和色散会参与能量与动量存储。把真空场的账本和物质的账本怎样划分，必须与所选宏观变量一致。只检验总动量并不足以唯一判定某种分账，但任一分账若遗漏可测的机械部分，便不能靠命名自救。本章不把真空公式冒充所有介质中的完整答案。
八、从一个缺项重新规定一个对象
以SDE语言回看脉冲传输，S是经过时钟和功率标定的输入输出差与机械响应；D是切换、延迟、负载变更和边界移动的操作序列；E则是储能、传播、端口和应力之间彼此规定的关系。E不是电源、导线、仪器等物件名单。没有场能储存与边界功率之间的约束，同一条暂时的功率差曲线既可能被解释为损耗，也可能被解释为尚未到达的能量，证据的意义会改变。
一条具体的S—D—E再创路径从源端与接收端暂时不平衡的显露开始；研究者改变线长、脉冲宽度和负载，构成有辨别力的差异；再依据时延和反射重建含储能与局域通量的关系结构，最后用另一组线长和边界回检。S＝F（D，E）在这里要求同一模型给出各组波形；D＝G（S，E）意味着用已见缺项和现有传播关系选择下一步操作；E＝H（S，D）则意味着结构修订必须受重复差异约束，不能只改一个解释词。
三种张力也有各自实处。显露S中的功率缺项与差异D中的切换时序不能在瞬时电路内相容，推动E增加分布储能并用长度比例回检。显露S中的受力与既有E的纯热解释相抵触，推动D改为吸收率和反射率分开的比较，再检验力与功率的关系。操作D的时间分辨率与E所要求的传播时间相冲突，则推动S由单一平均功率改成同步波形和时间积分，随后检查新读数能否闭合收支。第三种变化不是要求“再测一次”，而是改变何种显露才足以承载问题。
本书所谓物理世界的创造，在此首先指可操作对象的重组：场能不再是只为总账平衡而写下的符号，它取得空间区域、边界通量、延迟和机械回检。这样的创造受到世界的抵抗，并不表示研究者制造了本来不存在的全部物理实在。局域化也把新的困难推到前台：不同运动状态下，电场和磁场怎样相互转化？能量和动量的分账如何保持一致？既然传播具有特征速度，长度和时间的测量又该如何共同规定？下一章的相对论危机正从这些仍未闭合的接口进入。
参考文献与阅读范围
[30-1] J. H. Poynting, “On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 175 (1884), 343–361。阅读原论文公开转录的开篇问题、能流推导及应用结构；历史概述仅据开篇。https://en.wikisource.org/wiki/On_the_Transfer_of_Energy_in_the_Electromagnetic_Field
[30-2] David Tong, Electromagnetism, Chapter 4, §4.4 “Transport of Energy: The Poynting Vector”。阅读局域能量收支与真空波能流；本章另行推导并设置电阻与同轴线数值。https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em/em3.pdf
[30-3] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 27, “Field Energy and Field Momentum”。阅读场能、动量与局域解释的限定；本章应力符号与算例统一采用文内约定。https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_27.html